PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

A.    PENGERTIAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x adalah

(i)   ax²+ bx + c > 0

(ii)  ax²+ bx + c ≥ 0

(iii) ax²+ bx + c < 0

(iv) ax²+ bx + c ≤ 0

dimana a, b, c dan x elemen bilangan riil dan a≠0

Nilai – nilai x yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian yang dapat ditentukan dengan menggunakan garis biangan.

Nilai x₁ dan x₂ merupakan akar – akar dari ax²+ bx + c = 0 serta nilai (+) dan (-) dari bentuk ax²+ bx + c ditempatkan pada garis bilangan dan penyelesaiannya ditentukan sesuai dengan tanda pertidaksamaan.

Misal a > 0 dan ax²+ bx + c dapat difaktorkan menjadi ( x - x₁ ) ( x – x₂ ) dengan x₁ < x₂ maka

a.       Untuk ax²+ bx + c > 0 penyelesaiannya adalah x < x₁ atau x > x₂

b.      Untuk ax²+ bx + c ≥ 0 penyelesaiannya adalah x ≤ x₁ atau x ≥ x₂

c.       Untuk ax²+ bx + c < 0 penyelesaiannya adalah x₁ < x < x₂

d.      Untuk ax²+ bx + c ≤ 0 penyelesaiannya adalah x₁ ≤ x ≤ x₂

Sebelum membahas  tentang metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita harus mengetahui tentang interval/selang serta grafik fungsi kuadrat yang akan membantu dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidak samaan kuadrat nantinya.

1. Interval/Selang

Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis(segmen garis) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian.

2. Grafik Fungsi Kuadrat

Suatu Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y=ax²+bx+c dengan a, b, c elemen bilangan riil dan a≠0. Grafik fungsi kuadrat ini memiliki sifat :

• Jika a>0 grafik fungsi terbuka ketas, dan sebaliknya jika a<0 grafik fungsi terbuka kebawah.
• Mmemotong sumbu y jika x=0 dan memotong sumbu x jika y=0.
• Titik potong terhadap sumbu x ditentukan oleh suatu nilai.

Diskriminan (D=b²-4ac) berlaku ketentuan :

1. D>0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik.
2. D=0 maka parabola menyinggung sumbu x.
3. D<0 maka parabola tidak memotong sumbu x.

Macam-macam Grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan a>0 dan D<0 maka termasuk definit positif  dan jika a<0 dan D<0 disebut definit negatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.

Langkah-langkah menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat :

1. Rubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat

2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut seperti telah dijelaskan pada materi persamaan kuadrat.

3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan.

4. Tentukan mana yang termasuk daerah + dan mana yang termasuk daerah -.

5. Tuliskan Hp sesuai soal yang diminta.

contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 2x – 24 < 0

Jawab:

x² – 2x – 24 < 0

(x -6) (x +4) < 0

x₁ = 6   x₂ = -4

Apabila diletakkan ke garis bilangan, daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 sehingga daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 2x – 24 < 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian x² – 2x – 3 ≤ 0

    Jawab :
a. Bentuk menjadi persamaan x² – 2x – 3 = 0

b. Difaktorkan (x – 3) (x + 1) = 0,

maka x = 3 atau x = -1

c. Berdasarkan soal daerah yang diminta ≤ 0  berarti yang bertanda -, sehingga berdasarkan gambar HP {x│-1 ≤ x ≤ 3}.

 

B.     CONTOH SOAL

a. Bagaimana Menentukan daerah yang diarsir dan negatif / positif

Jawab :

Misal x² – 2x – 24 ≥ 0 di ubah menjadi x² – 2x – 24 = 0

Di faktorkan menjadi

( x + 4 )    ( x – 6 ) = 0

x + 4 = 0       x – 6 = 0

            x = -4            x = 6

Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah x ≤ - 4 atau x ≥ 6

Garis bilangannya

     

  

Terakhir Uji

Di titik x = 2

( x + 4 ) ( x - 6 )

( 2 + 4 ) ( 2 - 6 )

   ( 6 )      (-4)     = - 24 , hasilnya di titik 0 yaitu antara -4 dan 6 adalah negatif (-) maka daerah nya adalah negatif (-)

Di titik x = -5

( x + 4 )     ( x - 6 )

( (-5) + 4 ) ( (-5) - 6 )

 ( -1 )             (-11)  = + 11 , hasilnya di titik -5 positif (+) maka daerah nya adalah positif (+)

Di titik x = 7

( x + 4 ) ( x - 6 )

( 7 + 4 ) ( 7 - 6 )

   ( 11 )    (1)      = + 11 , hasilnya di titik 7 positif (+) maka daerah nya adalah positif (+)

b. Tentukan Himpunan Penelesaian dari x² – 7x + 6 ≤ 0

Jawab :

x² – 7x + 6 ≤ 0 di ubah menjadi x² – 7x + 6 = 0

Di faktorkan menjadi

( x - 1 )    ( x – 6 ) = 0

x - 1 = 0       x – 6 = 0

            x = 1            x = 6

Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah 1 ≤ x ≤ 6

Garis bilangannya 

      

Terakhir Uji

Di titik x = 2

( x - 1 ) ( x - 6 )

( 2 - 1 ) ( 2 - 6 )

   ( 1 )      (-4)     = - 4 , hasilnya di titik 0 yaitu antara 1 dan 6 adalah negatif (-) maka daerah nya adalah negatif (-)

Di titik x = 0

( x - 1 ) ( x - 6 )

( 0 - 1 ) ( 0 - 6 )

 ( -1 )      (-6)  = + 6 , hasilnya di titik 0  positif (+) maka daerah nya adalah positif (+)

Di titik x = 7

( x - 1 ) ( x - 6 )

( 7 - 1 ) ( 7 - 6 )

   ( 6 )      (1)       = + 6 , hasilnya di titik 7 positif (+) maka daerah nya adalah positif (+)